В этой статье мы подробно остановимся на сокращении алгебраических дробей . Сначала разберемся, что понимают под термином «сокращение алгебраической дроби», и выясним, всегда ли алгебраическая дробь сократима. Дальше приведем правило, позволяющее проводить это преобразование. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров, которые позволят уяснить все тонкости процесса.
Навигация по странице.
Что значит сократить алгебраическую дробь?
Изучая , мы говорили про их сокращение. мы назвали деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. Например, обыкновенную дробь 30/54 можно сократить на 6 (то есть, разделить на 6 ее числитель и знаменатель), что приведет нас к дроби 5/9 .
Под сокращением алгебраической дроби понимают аналогичное действие. Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Но если общим множителем числителя и знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть многочлен , в частности, одночлен или число.
Например, алгебраическую дробь можно сократить на число 3
, что даст дробь 
. Также можно выполнить сокращение на переменную x
, что приведет к выражению 
. Исходную алгебраическую дробь можно подвергнуть сокращению на одночлен 3·x
, а также на любой из многочленов x+2·y
, 3·x+6·y
, x 2 +2·x·y
или 3·x 2 +6·x·y
.
Конечная цель сокращения алгебраической дроби состоит в получении дроби более простого вида, в лучшем случае – несократимой дроби.
Любая ли алгебраическая дробь подлежит сокращению?
Нам известно, что обыкновенные дроби подразделяются на . Несократимые дроби не имеют отличных от единицы общих множителей в числителе и знаменателе, следовательно, не подлежат сокращению.
Алгебраические дроби также могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь. При наличии общих множителей возможно сокращение алгебраической дроби. Если же общих множителей нет, то упрощение алгебраической дроби посредством ее сокращения невозможно.
В общем случае по внешнему виду алгебраической дроби достаточно сложно определить, возможно ли выполнить ее сокращение. Несомненно, в некоторых случаях общие множители числителя и знаменателя очевидны. Например, хорошо видно, что числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий множитель 3
. Также несложно заметить, что алгебраическую дробь можно сократить на x
, на y
или сразу на x·y
. Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет. К примеру, дробь возможно сократить на x−1
, но этот общий множитель явно не присутствует в записи. А алгебраическую дробь 
сократить невозможно, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей.
Вообще, вопрос о сократимости алгебраической дроби очень непростой. И порой проще решить задачу, работая с алгебраической дробью в исходном виде, чем выяснить, можно ли эту дробь предварительно сократить. Но все же существуют преобразования, которые в некоторых случаях позволяют с относительно небольшими усилиями найти общие множители числителя и знаменателя, если таковые имеются, либо сделать вывод о несократимости исходной алгебраической дроби. Эта информация будет раскрыта в следующем пункте.
Правило сокращения алгебраических дробей
Информация предыдущих пунктов позволяет естественным образом воспринять следующее правило сокращения алгебраических дробей , которое состоит из двух шагов:
- сначала находятся общие множители числителя и знаменателя исходной дроби;
- если таковые имеются, то проводится сокращение на эти множители.
Указанные шаги озвученного правила нуждаются в разъяснении.
Самый удобный способ отыскания общих заключается в разложении на множители многочленов , находящихся в числителе и знаменателе исходной алгебраической дроби. При этом сразу становятся видны общие множители числителя и знаменателя, либо становится видно, что общих множителей нет.
Если общих множителей нет, то можно делать вывод о несократимости алгебраической дроби. Если же общие множители обнаружены, то на втором шаге они сокращаются. В результате получается новая дробь более простого вида.
В основе правила сокращения алгебраических дробей лежит основное свойство алгебраической дроби , которое выражается равенством , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c – ненулевые. На первом шаге исходная алгебраическая дробь приводится к виду , из которого становится виден общий множитель c , а на втором шаге выполняется сокращение – переход к дроби .
Переходим к решению примеров с использованием данного правила. На них мы и разберем все возможные нюансы, возникающие при разложении числителя и знаменателя алгебраической дроби на множители и последующем сокращении.
Характерные примеры
Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например, 
и т.п.
Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби , после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, 
. Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться . В этом случае решение выглядело бы так: 
, здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 2 2 ·3
. Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде .
По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами.
Пример.
Сократите алгебраическую дробь 
.
Решение.
Можно представить числитель и знаменатель исходной алгебраической дроби в виде произведения простых множителей и переменных, после чего провести сокращение:
Но более рационально решение записать в виде выражения со степенями:
Ответ:
.
Что касается сокращения алгебраических дробей, имеющих дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе, то можно поступать двояко: либо отдельно выполнять деление этих дробных коэффициентов, либо предварительно избавляться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некоторое натуральное число. Про последнее преобразование мы говорили в статье приведение алгебраической дроби к новому знаменателю , его можно проводить в силу основного свойства алгебраической дроби. Разберемся с этим на примере.
Пример.
Выполните сокращение дроби .
Решение.
Можно сократить дробь следующим образом: 
.
А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10
. В этом случае имеем 
.
Ответ:
.
Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.
При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель алгебраической дроби разложить на множители.
Пример.
Сократите рациональную дробь 
.
Решение.
Для этого разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с вынесения за скобки: . Очевидно, выражения в скобках можно преобразовать, используя
Виды выражений из алгебры могут принимать вид рациональных дробей, которые характерны тождественным преобразованиям этих дробей. Чаще всего можно встретить еще одно название алгебраические дроби. Таким образом, понятия рациональных и алгебраических дробей равнозначны.
Рассмотрим приведение рациональной дроби к новому знаменателю, смене знаков, сокращению. Подробно остановимся на преобразовании дробей в виде суммы с несколькими показателями. В заключении приведем несколько примеров, в которых подробно рассмотрим решения.
Определение и примеры рациональных дробей
Определение 1Рациональная дробь – это дробь,в числителе и знаменателе которой, имеются многочлены с натуральными, целыми и рациональными коэффициентами.
Многочлены могут быть приведены в нестандартном виде, что говорит о том, что необходимы дополнительные преобразования.
Рассмотрим примеры рациональных дробей.
Пример 1
2 a 2 · b - b , x + 2 , 3 · x + 2 2 3 · x 2 · y · z x 2 + y 2 + z 2 , х 8 , 1 4 · x 2 - 3 · x + 1 2 · x + 3 считаются рациональными дробями.
А 5 · (x + y) · y 2 - x 4 · y и a b - b a 3 + 1 a + 1 a 2 не являются таковыми, так как не имеют выражений с многочленами.
Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби
Числитель и знаменатель считаются самодостаточными числовыми выражениями. Отсюда следует, что с ними можно производить различные преобразования, то есть в числителе или знаменателе разрешено заменять на тождественное равное ему выражение.
Чтобы провести тождественные преобразования, необходимо группировать и приводить подобные слагаемые, причем знаменатель заменять на более простое подобное ему выражение. Числители и знаменатели содержат многочлены, значит, что с ними можно производить преобразования, подобные для многочленов. Это могут быть и приведения к стандартному виду или представление в виде произведения.
Пример 2
Преобразовать 3 · a - a · b - 2 · b · 5 6 · b + 2 3 7 · a · b a 3 · b 2 - 5 · a 2 · b + 3 · a · b - 15 таким образом, чтобы числитель получил стандартный вид многочлена, а знаменатель – их произведение.
Решение
Для начала необходимо привести к стандартному виду. Применим свойство степени, получим выражение вида
3 · a - a · b - 2 · b · 5 6 · b + 2 3 7 · a · b = 3 · a - a · b - 5 3 · b 2 + 2 3 7 · a · b = = 3 · a + - α · b + 2 3 7 · a · b - 5 3 · b 2 = 3 · a + 1 3 7 · a · b - 5 3 · b 2
Необходимо выполнить преобразования знаменателя. Представляем его в виде произведения, то есть раскладываем на многочлены. Для этого производим группировку первого и третьего слагаемых, а второго с четвертым. Общий множитель выносим за скобки и получаем выражение вида
a 3 · b 2 - 5 · a 2 · b + 3 · a · b - 15 = (a 3 · b 2 + 3 · a · b) + (- 5 · a 2 · b - 15) = = a · b · (a 2 · b + 3) - 5 · (a 2 · b + 3)
Видно, что полученное выражение имеет общий множитель, который и необходимо вынести за скобки, чтобы получить
a · b · (a 2 · b + 3) - 5 · (a 2 · b + 3) = a 2 · b + 3 · (a · b - 5)
Теперь подходим к произведению многочленов.
Проведя преобразования, получаем, что заданная дробь принимает вид 3 · a + 1 3 7 · a · b - 5 3 · b 2 a 2 · b + 3 · (a · b - 5) .
Ответ: 3 · a - a · b - 2 · b · 5 6 · b + 2 3 7 · a · b a 3 · b 2 - 5 · a 2 · b + 3 · a · b - 15 = 3 · a + 1 3 7 · a · b - 5 3 · b 2 a 2 · b + 3 · (a · b - 5) .
Данные преобразования необходимы для их использования в преобразованиях.
Приведение к новому знаменателю
При изучении обыкновенных дробей знакомимся с основным свойством дроби, которое говорит о том, что при умножении числителя и знаменателя на любое натуральное число, получаем равную предыдущей дробь. Данное свойство распространяется и на рациональные дроби: при умножении на ненулевой многочлен числитель и знаменатель, получим дробь, равную предыдущей.
Для любых многочленов a , b и c , где b и c являются ненулевыми, равенство вида a b = a · c b · c справедливо, тогда они являются тождеством. К примеру, x · y + 1 2 · x - 5 = (x · y + 1) · (x 2 + 3 · b 2) (2 · x - 5) · (x 2 + 3 · b 2) является справедливым для всей ОДЗ переменных x и y .
Отсюда следует то, что при решении необходимо воспользоваться приведением рациональной дроби к новому знаменателю.То есть ее умножение и числителя и знаменателя на ненулевой многочлен. В результате получим дробь, равную заданной.
Если рассмотреть такой пример рациональной дроби вида x - y 2 · x , то при приведении к новому знаменателю, получим новую, но равную предыдущей. Необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение x 2 + y , тогда имеем, что выражение x - y · x 2 + y 2 · x · (x 2 + y) при помощи преобразования примет вид рациональной дроби x 3 + x · y - x 2 · y - y 2 2 · x 3 + 2 · x · y . Такие приведения используются для сложения или вычитания дробей. Углубить знания можно в разделе приведения алгебраических дробей к новому знаменателю.
Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе
Основное свойство дроби применяется для того, чтобы можно было сменить знаки у членов дроби. Эти преобразования характерны для рациональных дробей.
Определение 2
При одновременном изменении знаков у числителя и знаменателя получаем дробь, равную заданной. Это утверждение запишем так - a - b = a b .
Рассмотрим пример.
Пример 3
Дробь вида - x - 2 x - y заменяют равной ей x + 2 y - x .
Определение 3
При работе с дробями можно менять знак только в числителе или только в знаменателе. При замене знака дроби, получаем тождественно равную дробь. Запишем это утверждение так:
a b = - - a b и a b = - a - b .
Доказательство
Для доказательства используется первое свойство. Получаем, что - - a b = - ((- a) : b) = (- 1) · (((- 1) · a) : b) = (- 1) · (- 1) · a: b = a: b = a b .
При помощи преобразований доказывается равенство вида a b = - a - b .
Пример 4
К примеру, x x - 1 заменяем - - x x - 1 или - x 1 - x .
Существуют два полезных равенства вида - a b = - a b и a - b = - a b . Отсюда замечаем, что при изменении знака в числителе или только в знаменателе, изменится знак дроби. Получаем, - 3 x 3 · y + z = - 3 x 3 · y + z и x + 3 - x + 5 = - x + 3 x - 5 .
Чаще всего такие преобразования подходят для дробно рациональных выражений и их преобразований.
Сокращение рациональных дробей
Основа преобразования – это свойство дроби. То есть применяется a · c b · c = a b , где имеем, что a , b и c являются некоторыми многочленами, где b и c – нулевые.
Пример 5
Сократить дробь 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 .
Решение
Заметим, что 2 является общим множителем, значит необходимо сократить на него выражение. Получим, что 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = x 2 · y 3 x · y 7 . Видно, что x 2 = x · x и y 7 = y 3 · y 4 , тогда x – это общий множитель. После сокращения получим, что x 2 · y 3 x · y 7 = (x · x) · y 3 x · (y 3 · y 4) = x y 4 . Сокращение выполняется последовательно, что позволяет получать точные ответы 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = (2 · x · y 3) · x (2 · x · y 3) · y 4 = x y 4 .
Ответ: 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = x y 4 .
Не всегда виден общий знаменатель при сокращении. Это и есть небольшая проблема. Не всегда это возможно увидеть сразу. Возможно, необходимо будет выполнить разложение числителя и знаменателя на множители. Это упростит решение. Подробно нюансы рассмотрены в теме сокращения алгебраических дробей.
При сокращении важно обратить внимание на то, что чаще всего необходимо раскладывать и числитель и знаменатель на множители.
Представление рациональной дроби в виде суммы дробей
Если имеется несколько дробей, то преобразование производится особым образом. Такую рациональную дробь необходимо представить в виде выражения, где имеются одночлены.
Пример 6
К примеру, 3 · a 2 + a · b - 5 a + b = 3 · a 2 a + b + a · b a + b - 5 a + b .
Это основано на правиле сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Любая рациональная дробь представляется в виде суммы дробей разными способами. Запишем это в виде утверждения a b = c d + a b - c d . Если x · y - x x + 1 представлять в виде суммы дробей, тогда получаем выражения вида
x · y - x x + 1 = 1 x + x 2 · y - x 2 - x - 1 x 2 + x , x · y - x x + 1 = x x - 1 + x 2 · y - x · y - 2 x 2 x 2 - 1 и так далее.
В особую группу выделяют представления рациональных дробей с одной переменной. Когда показатель такой дроби больше или равен степени показателя знаменателя, тогда переходим к преобразованию суммы рационального выражения. То есть выполняется деления многочлена на многочлен.
Пример 7
Какие значения n являются целым числом дроби n 4 - 2 · n 3 + 4 · n - 5 n - 2 ?
Решение
Необходимо представить исходную дробь в виде суммы выражений и дроби. После деления числителя и знаменателя, получим выражение вида n 4 - 2 · n 3 + 4 · n - 5 n - 2 = n 3 + 4 + 3 n - 2 . Отсюда видно, что n 3 + 4 при любом n будет целым числом. А дробь 3 n - 2 принимает целые значения при n = 3 , n = 1 , n = 5 и n = − 1 .
Ответ: − 1 , 1 , 3 , 5 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Уравнения, содержащие переменную в знаменателе можно решать двумя способами:
Приведя дроби к общему знаменателю
Используя основное свойство пропорции
Вне зависимости от выбранного способа необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных допустимые значения, т.е те, которые не обращают знаменатель в $0$.
1 способ. Приведение дробей к общему знаменателю.
Пример 1
$\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}$
Решение:
1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую
\[\frac{2x+3}{2x-1}-\frac{x-5}{x+3}=0\]
Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.
2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$
Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$.
\[\frac{(2x+3)(х+3)}{(2x-1)(х+3)}-\frac{(x-5)(2х-1)}{(x+3)(2х-1)}=0\]
Выполним преобразование в числителе первой дроби-произведем умножение многочленов. Вспомним, что для этого необходимо умножить первое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить
\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}^2+6х+3х+9\]
Приведем подобные слагаемые в полученном выражении
\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}^2+6х+3х+9=\] \[{=2х}^2+9х+9\]
Выполним аналогично преобразование в числителе второй дроби-произведем умножение многочленов
$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1={2х}^2-х-10х+5={2х}^2-11х+5$
Тогда уравнение примет вид:
\[\frac{{2х}^2+9х+9}{(2x-1)(х+3)}-\frac{{2х}^2-11х+5}{(x+3)(2х-1)}=0\]
Теперь дроби с одинаковым знаменателем, значит можно производить вычитание. Вспомним, что при вычитании дробей с одинаковым знаменателем из числителя первой дроби необходимо вычесть числитель второй дроби, знаменатель оставить прежним
\[\frac{{2х}^2+9х+9-({2х}^2-11х+5)}{(2x-1)(х+3)}=0\]
Преобразуем выражение в числителе. Для того, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» надо изменить все знаки перед слагаемыми, стоящими в скобках на противоположные
\[{2х}^2+9х+9-\left({2х}^2-11х+5\right)={2х}^2+9х+9-{2х}^2+11х-5\]
Приведем подобные слагаемые
${2х}^2+9х+9-\left({2х}^2-11х+5\right)={2х}^2+9х+9-{2х}^2+11х-5=20х+4$
Тогда дробь примет вид
\[\frac{{\rm 20х+4}}{(2x-1)(х+3)}=0\]
3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.
\[{\rm 20х+4=0}\]
Решим линейное уравнение:
4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.
Поставим условие, что знаменатели не равны $0$
х$\ne 0,5$ х$\ne -3$
Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.
Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и,конечно, не был бы включен в ответ.
Ответ: $-0,2.$
Теперь можем составить алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе
Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе
Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные
Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.
Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.
Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.
2 способ. Используем основное свойство пропорции
Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.
Пример 2
Используем данное свойство для решения этого задания
\[\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}\]
1.Найдем и приравняем произведение крайних и средних членов пропорции.
$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$
\[{2х}^2+3х+6х+9={2х}^2-10х-х+5\]
Решив полученное уравнение, мы найдем корни исходного
2.Найдем допустимые значения переменной.
Из предыдущего решения (1 способ) мы уже нашли, что допустимы любые значения, кроме $-3$ и $0,5$.
Тогда, установив что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $-0,2$ будет являться корнем.
§ 1 Понятие алгебраической дроби
Алгебраической дробью называют выражение
где Р и Q —многочлены; Р — числитель алгебраической дроби, Q — знаменатель алгебраической дроби.
Вот примеры алгебраических дробей:
Любой многочлен - это частный случай алгебраической дроби, потому что любой многочлен можно записать в виде
Например:
Значение алгебраической дроби зависит от значения переменных.
Например, вычислим значение дроби
1)
2)
В первом случае получаем:
Заметим, данную дробь можно сократить:
Таким образом, вычисление значения алгебраической дроби упрощается. Воспользуемся этим.
Во втором случае получим:
Как видно, с изменением значений переменных изменилось значение алгебраической дроби.
§ 2 Допустимые значения переменных алгебраической дроби
Рассмотрим алгебраическую дробь
Значение x = -1 является недопустимым для данной дроби, т.к. знаменатель дроби при таком значении х обращается в нуль. При этом значении переменной алгебраическая дробь не имеет смысла.
Таким образом, допустимыми значениями переменных алгебраической дроби являются такие значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.
Решим несколько примеров.
При каких значениях переменной не имеет смысла алгебраическая дробь:
Для нахождения недопустимых значений переменных знаменатель дроби приравнивается к нулю, и находятся корни соответствующего уравнения.
При каких значениях переменной равна нулю алгебраическая дробь:
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Приравняем к нулю числитель нашей дроби и найдем корни получившегося уравнения:
Таким образом, при x = 0 и x= 3 данная алгебраическая дробь не имеет смысла, а значит, мы должны исключить эти значения переменной из ответа.
Итак, на этом уроке Вы изучили основные понятия алгебраической дроби: числитель и знаменатель дроби, а также допустимые значения переменных алгебраической дроби.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1 Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215 с.: ил.
- Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.2 Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006 – 239с.
- Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина 2009. - 40с.
- Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича. 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина 2013. - 112с.
В § 42 было сказано, что если деление многочленов нельзя выполнить нацело, то частное записывается в виде дробного выражения, в котором делимое является числителем, а делитель - знаменателем.
Примеры дробных выражений:
Числитель и знаменатель дробного выражения и сами могут быть дробными выражениями, например:
Из дробных алгебраических выражений наиболее часто приходится иметь дело с такими, в которых числитель и знаменатель являются многочленами (в частности, и одночленами). Каждое такое выражение называется алгебраической дробью.
Определение. Алгебраическое выражение, представляющее собой дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены, называется алгебраической дробью.
Как и в арифметике, числитель и знаменатель алгебраической дроби называются членами дроби.
В дальнейшем, изучив действия над алгебраическими дробями, мы сможем всякое дробное выражение при помощи тождественных преобразований преобразовать в алгебраическую дробь.
Примеры алгебраических дробей:
Заметим, что целое выражение, то есть многочлен, можно записать в виде дроби, для этого достаточно записать в числителе данное выражение, а в знаменателе 1. Например:
2. Допустимые значения букв.
Буквы, входящие только в числитель, могут принимать любые значения (если не введены какие-либо дополнительные ограничения условием задачи).
Для букв же, входящих в знаменатель, допустимыми являются только те значения, которые не обращают в нуль знаменатель. Поэтому в дальнейшем всегда будем считать, что знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.
