Колебания системы с двумя степенями свободы. Свободные колебания системы с двумя степенями свободы Колебания с несколькими степенями свободы

Далее докажем, что корнями частотного уравнения (4.25) служат два положительных значения к 2 и к 2 (в теории колебаний меньшему индексу отвечает меньшая частота, т. е. k { С этой целью введем сначала понятие парциальной частоты. Под этим термином понимают собственную частоту системы с одной степенью свободы, полученной из исходной системы закреплением всех обобщенных координат, кроме одной. Так, например, если в первом из уравнений системы (4.22) принять q 2 = 0, то парциальной частотой будет p { =yjc u /a n . Аналогичным образом, закрепляя р 2 ~^с п /а 21 .

Чтобы частотное уравнение (4.25) имело два действительных корня к х и k 2 , необходимо и достаточно, чтобы, во-первых, график функции А (к 2) при к = 0 имел бы положительную ординату, а во-вторых, чтобы он пересекал ось абсцисс. Случай кратных частот к { = к . } , а также обращение низшей частоты в нуль, здесь не рассматривается. Первое из этих условий соблюдается, поскольку д (0) = с„с 22 - с и > 0 В справедливости второго условия легко убедиться, подставив в зависимость (4.25) к = к = р 2 ; при этом А(р, 2) Информация такого рода при инженерном расчете облегчает прогнозы и оценки.

Полученным двум значениям частот к , и к 2 соответствуют частные решения вида (4.23), поэтому общее решение имеет следующую форму:

Таким образом, каждая из обобщенных координат участвует в сложном колебательном процессе, представляющем собой сложение гармонических движений с разными частотами, амплитудами и фазами (рис. 4.6). Частоты k t и к 2 в общем случае несоизмеримы, поэтому q v ц, не являются периодическими функциями.

Рис. 4.6

Отношение амплитуд свободных колебаний при фиксированной собственной частоте называют коэффициентом формы. Для системы с двумя степенями свободы коэффициенты формы (3.= BJA." определяются непосредственно из уравнений (4.24):

Таким образом, коэффициенты формы р,= В 1 /А [ и р.,= В.,/А., зависят только от параметров системы и не зависят от начальных условий. Коэффициенты формы характеризуют для рассматриваемой собственной частоты к. распределение амплитуд по колебательной цепи. Совокупность этих амплитуд образует так называемую форму колебаний.

Отрицательное значение коэффициента формы означает, что колебания находятся в противофазах.

При использовании стандартных программ на ЭВМ иногда используют нормированные коэффициенты формы. Под этим термином понимают

В коэффициенте р‘ г индекс i отвечает номеру координаты, а индекс г- номеру частоты. Очевидно, что или Легко заметить, что р*

В системе уравнений (4.28) оставшиеся четыре неизвестных А г А 2 , ос, сх 2 определяются с помощью начальных условий:

Наличие линейной силы сопротивления так же, как и в системе с одной степенью свободы, приводит к затуханию свободных колебаний.

Рис. 4.7

Пример. Определим собственные частоты, парциальные частоты и коэффициенты формы для колебательной системы, показанной на рис. 4.7,а. Принимая в качестве обобщенных координат абсолютные перемещения масс.г, = q v x 2 = q. r запишем выражения для кинетической и потен циальной энергий:

Таким образом,

После подстановки в частотные уравнения (4.25) получаем

При этом Согласно (4.29)

На рис. 4.7, б приведены формы колебаний. При первой форме колебаний массы перемещаются синхронно в одном направлении, а при второй - встречно. Кроме того, в последнем случае появилось сечение N, не участвующее в колебательном процессе с собственной частотой k r Это так называемый узел колебаний.

В частном случае системы с двумя степенями свободы квадратичные формы Т, П, Ф будут соответственно равны

а дифференциальные уравнения малых колебаний примут вид

Рассмотрим свободные колебания консервативной системы. В этом случае

и дифференциальные уравнения принимают вид:

Начальные условия для имеют вид:

В силу положительной определенности квадратичной формы кинетической энергии обобщенные инерционные коэффициенты удовлетворяют соотношениям

а аналогичные соотношения для квазиупругих коэффициентов

являются достаточными условиями устойчивости положения равновесия системы.

Коэффициенты и , связывающие в уравнениях (4.5) обобщенные координаты и , называют соответственно коэффициентами инерционной и упругой связи. Если в колебательной системе коэффициент , ее называют системой с упругой связью, а если – системой с инерционной связью.

Парциальной системой, соответствующей обобщенной координате , называют условную колебательную систему с одной степенью свободы, получаемую из исходной системы, если наложить запрет на изменение всех обобщенных координат, кроме . Парциальными частотами называют собственные частоты парциальных систем:

Поскольку уравнения (4.5) содержат только обобщенные координаты и их вторые производные по времени, ищем их решение в виде

где – пока неопределенные величины.

Подставив (4.8) в (4.5) и приравняв коэффициенты при синусах, получим однородную алгебраическую систему относительно и :

Для того, чтобы однородная алгебраическая система (4.9) имела ненулевое решение, она должна быть вырожденной, т.е. ее определитель должен равняться нулю:

Следовательно, решение (4.7) будет иметь смысл только при тех значениях , которые удовлетворяют условию (4.9). Раскрывая (4.10), получаем

Уравнение, представленное в форме (4.10), (4.11) или (4.12) называют частотным. Как видно из (4.12) частотное уравнение – биквадратное уравнение. Найденные из (4.10)–(4.12) значения называют собственными частотами колебаний системы.

Исследование корней частотного уравнения позволяет сделать следующие выводы:

1) если положение равновесия устойчивое, то оба корня частотного уравнения положительны;

2) первая собственная частота системы всегда меньше меньшей парциальной частоты, а вторая – больше большей парциальной частоты.

Для колебательных систем с упругой связью ( = 0) справедливо равенство

Запишем два частных независимых решения, соответствующих частотам и , в виде

где вторая цифра в индексе соответствует номеру частоты, или номеру тона колебаний.

Константы не являются независимыми, так как система (4.9) вырожденная. Коэффициенты связаны между собой соотношениями

Где . (4.15)

Где . (4.16)

С учетом (4.15) и (4.16) частные решения (4.14) будут иметь вид

Колебания, уравнения которых имеют вид (4.17) называют главными колебаниями. Они представляют собой гармонические колебания с частотами и соответственно. Коэффициенты называют коэффициентами распределения амплитуд. Они характеризуют отношение амплитуд в главных колебаниях или форму главных колебаний.

Коэффициенты распределения амплитуд и, следовательно, формы главных колебаний, как и собственные частоты, определяются параметрами самой колебательной системы и не зависят от начальных условий. Поэтому формы колебаний называют, так же как и частоты, собственными формами колебаний при колебаниях по соответствующему тону.

Общее решение системы уравнений (4.5) может быть представлено как сумма найденных частных решений (4.17)

Общее решение содержит четыре неопределенные постоянные , которые должны определяться из начальных условий (4.6).

При произвольных начальных условиях обе константы и отличны от нуля. Это означает, что изменение во времени каждой обобщенной координаты будет представлять собой сумму гармонических колебаний с частотами и . А такие колебания являются не только не гармоническими, но в общем случае и не периодическими.

Рассмотрим случай свободных колебаний системы, когда собственные частоты колебаний системы и мало отличаются друг от друга:

Обозначим разность аргументов синусов в общем решении (4.18) уравнений свободных колебаний

При величина , а с возрастанием времени эта зависимость из-за малости увеличивается очень медленно. Тогда

С учетом последнего равенства, общее решение уравнений свободных колебаний (4.18) может быть записано в виде:

В этих уравнениях

Так как выражения (4.21) зависят от и , а угол медленно изменяется с изменением времени, то рассматриваемые колебания (4.20) будут колебаниями с периодически изменяющейся амплитудой. Период изменения амплитуды в этом случае значительно больше периода колебаний (рис. 4.1). Если коэффициенты распределения амплитуд и имеют разные знаки, то максимуму соответствует минимум и наоборот. При усилении первого главного колебания интенсивность второго главного колебания уменьшается и наоборот, то есть энергия движения системы периодически оказывается как бы сосредоточенной то в одном, то в другом звене этой вибрирующей системы. Такое явление называют биением.

Возможен другой подход к решению задачи о свободных колебаниях системы – найти какие-то новые обобщенные координаты и называемые нормальными или главными , для которых при любых начальных условиях движение будет одночастотным и гармоническим.

Зависимость между обобщенными координатами и , выбранными произвольно, и главными координатами и можно выразить так:

где и – коэффициенты распределения амплитуд (коэффициенты формы). Можно показать, что переход от исходных координат к главным приводит квадратичные формы кинетической и потенциальной энергии к каноническому виду:

Подставив полученные для и выражения (4.23) в уравнения Лагранжа второго рода, получим уравнения малых колебаний системы в главных координатах: . Выражения кинетической и потенциальной энергии будут иметь канонический вид: и

Из уравнений движения консервативной механической системы около устойчивого положения равновесия

в случае двух степеней свободы имеем:

(1)

(Согласно критерию Сильвестра:

(1) система дифференциальных уравнений малых свободных колебаний механической системы с двумя степенями свободы около устойчивого положения равновесия . Ее решение ищется в виде:

(2)

Подстановка этого решения в систему дифференциальных уравнений малых колебаний дает:

(3)

Относительно A и B это система однородных алгебраических уравнений. Она имеет нетривиальное решение, когда определитель системы равен нулю:

(4)

Это биквадратное уравнение называется уравнением частот, оно имеет два положительных корня , которым соответствуют два решения системы дифференциальных уравнений малых колебаний:

Таким образом, каждая обобщенная координата находится как сумма двух колебаний разной частоты, которые называются главными колебанииями . При этом, как следует из системы (3), амплитуды главных колебаний связаны между собой следующим образом:

(5)

где - коэффициенты формы главных колебаний.

В итоге решение уравнений свободных колебаний (1) окончательно принимает вид:

(6)

Входящие в(6) амплитуды , и начальные фазы , колебаний определяются из начальных условий.

Вынужденные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Динамический гаситель колебаний

Исключение нежелательных колебаний в механических системах называется виброзащитой (демпфированием). Используемые при этом технические устройства называются виброгасителями (демпферами).

Принцип работы динамического гасителя основан на использовании явления антирезонанса, когда действие периодически изменяющейся возмущающей обобщенной силы соответствующей одной координате, нейтрализуется действием потенциальной обобщенной силы, соответствующей другой координате.

Пусть к механической системе помимо консервативных сил приложена возмущающая сила, которая изменяется с течением времени по гармоническому закону

Дифференциальные уравнения движения механической системы в этом случае имеют вид:

Общее решение системы линейных дифференциальных неоднородных(в данном случае) уравнений ищем как сумму двух решений: ,- общее решение системы однородных дифференциальных уравнений; -частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений.

С учетом зависимости возмущающей силы от времени частное решение ищется в виде

Подстановка его в систему дифференциальных уравнений дает:

Решая эту систему по правилу Крамера, получим

Поскольку совпадает с левой частью уравнения частот и обращается в ноль

при совпадении частоты возмущающей силы с одной из частот собственных

колебаний или Коэффициенты A и B при этом обращаются в бесконечность. Таким образом, в случае колебаний системы с двумя степенями свободы существуют две резонансные частоты

Общее решение системы дифференциальных уравнений вынужденных

колебаний при имеет вид:

Как видно, за счет выбора параметров колеблющейся системы можно добиться, например, выполнения условия А =0, т. е. амплитуда вынужденных колебаний, соответствующих первой обобщенной координате, обращается в ноль.

Такое явление и называется антирезонансом.

В рассматриваемом случае это имеет место, если

Основные понятия и гипотезы теории удара. Основное уравнение теории удара

Явление, при котором за малый промежуток времени, т.е. почти мгновенно, скорости точек материальных объектов изменяются на конечные величины, называется ударом .

Так как при ударе конечное изменение скоростей происходит за весьма малый промежуток времени, то при этом возникают очень большие ускорения, а, следовательно, и очень большие силы. Эти силы действуют в течение весьма малого промежутка времени, но их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами.

Силы, возникающие при ударе в течение малого промежутка времени, но достигающие при этом большой величины, так что их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами, называются ударными силами .

Малый промежуток времени, в течение которого длится удар, называется временем удара. Импульсы ударных сил за время удара называются ударными импульсами .

Пусть дана МТ массы m, которая движется под действием обычной (неударной) силы . В момент , когда рассматриваемая МТ имеет скорость – скорость до удара, на нее начинает действовать ударная сила , действие которой прекращается в момент . Определим движение МТ под действием сил и за время удара .

Применяя теорему об изменении количества движения точки, получим:

,

где – скорость точки в момент после удара.

По теореме о среднем значении определенного интеграла можно написать:

,

где и есть средние значения сил и в некоторый промежуток времени. При этом является конечной величиной; ударная сила за время удара достигает весьма большой величины (порядка ). Поэтому произведение будет пренебрежимо мало по сравнению с произведением , являющимся величиной конечной.

Колебания с несколькими степенями свободы.

Краткие сведения из теории.

Системами с п степенями свободы принято в динамике называть такие системы, для полной фиксации геометрического состояния которых в любой момент времени требуется задать п параметров, например положение (прогибы) п точек. Положение прочих точек определяется обычными статическими приемами.

Примером системы с п степенями свободы может служить балка или плоская рама, если массы ее отдельных частей или элементов условно (для облегчения динамического расчета) считаются сосредоточенными в п точках, или если она несет п больших масс (двигатели, моторы), по сравнению с которыми возможно пренебречь собственным весом элементов. Если отдельные сосредоточенные («точечные») массы могут при колебаниях совершать перемещения по двум направлениям, то число степеней свободы системы будет равно числу связей, которые следует наложить на систему, чтобы ликвидировать смещения всех масс.

Если вывести из равновесия систему с п степенями свободы, то она будет совершать свободные колебания , причем каждая «точка» (масса) будет совершать сложные полигармонические колебания типа:

Постоянные Аi и Вi зависят от начальных условий движения (отклонений масс от статического уровня и скоростей в момент времени t =0). Лишь в некоторых, особых, случаях возбуждения колебаний полигармоническое движение для отдельных масс может перейти в гармоническое, т.е. как в системе с одной степенью свободы:

Число собственных частот системы равно числу ее степеней свободы.

Для вычисления собственных частот необходимо решить так называемый определитель частот, записываемый в таком виде:

Это условие в развернутом виде дает уравнение п -ой степени для определения п значений ω 2 , которое называется уравнением частот.

Через δ 11 , δ 12 , δ 22 и т.д. обозначены возможные перемещения. Так, δ 12 есть перемещение по первому направлению точки расположения первой массы от единичной силы, приложенной по второму направлению к точке расположения второй массы и т.д.

При двух степенях свободы уравнение частот получает вид:

Откуда для двух частот имеем:

В том случае, когда отдельные массы М i могут совершать в совокупности с линейными перемещениями также вращательные или только вращательные движения, то i -той координатой будет угол вращения, и в определителе частот массу

М i надлежит заменить моментом инерции массы J i ; соответственно возможные перемещения по направлению i -той координаты (δ i 2 , δ i 2 и т.д.) будут являтся угловыми перемещениями.

Если какая-либо масса будет совершать колебания по нескольким направлениям - i -му и k -му (например, по вертикальному и горизонтальному), то такая масса участвует в определителе несколько раз под номерами М i и М k и ей соответствует несколько возможных перемещений (δ ii , δ kk , δ ik , и т.д.).

Заметим, что каждой собственной частоте присуща своя особая форма колебаний(характер изогнутой оси, линии прогибов, перемещений и т.п.), которая отдельных, особых, случаях может оказаться действительной формой колебаний, если только надлежащим образом или возбуждены свободные колебания (надлежащий подбор импульсов, точек их приложения и т.п.). В этом случае колебания системы будут совершаться по законам движения системы с одной степенью свободы.

В общем случае, как это вытекает из выражения (9.1), система совершает полигармонические колебания, но, очевидно, что всякая сложная упругая линия, в которой отражается влияние всех собственных частот, может быть разложена на отдельные составляющие формы, каждая из которых соответствует своей собственной частоте. Процесс такого разложения истинной формы колебаний на составляющие (что необходимо при решении сложных задач строительной динами) носит название разложения по формам собственных колебаний.

Если в каждой массе, точнее – по направлению каждой степени свободы, приложить возмущающую силу, изменяющуюся по времени по гармоническому закону

где определитель D записывается по (9.2) с заменой ω на θ и, следовательно, D≠0; D i определяется выражением:

И соответственно

При расчете на вынужденные колебания балок постоянного сечения, несущих сосредоточенные массы (рис.9.1).

Проще, однако, пользоваться нижеуказанными формулами для амплитуд прогиба, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы в любом сечении балки:

где y 0 , φ 0 , M 0 , Q 0 – амплитуды прогиба, поворота, момента и поперечной силы начального сечения (начальные параметры); M i и J i - масса и ее момент инерции (сосредоточенные массы); знак ∑ распространяется на все силы и сосредоточенные массы, расположенные от начального сечения до обследуемого.

Указанными формулами (9.7) можно пользоваться и при вычислении собственных частот, для чего необходимо считать возмущающие силы ∑ Р i и моменты ∑ М i равными нулю, заменить частоту вынужденных колебаний θ частотой собственных колебаний ω и, предполагая существование колебаний (свободных колебаний), написать выражения (9.7) применительно к сечениям, где расположены сосредоточенные массы и уже известны амплитуды (опорные сечения, ось симметрии и т.д.). Получим систему однородных линейных уравнений. Приравнивая к нулю определитель этой системы, получим возможность вычислить собственные частоты.

Целесообразным, оказывается использовать выражения (9.4) и (9.5) для определения амплитуд (y 0 , φ 0 , и т.п.) при х =0, а затем с помощью (9.7) вычислить все остальные элементы прогиба.

Более сложной является задача расчета движений системы с несколькими степенями свободы на действие произвольной нагрузки, изменяющейся во времени и приложенной к различным массам.

При решении такой задачи надлежит поступать следующим образом:

а) определить собственные частоты и формы собственных колебаний;

б) заданную нагрузку перегруппировать между массами или, как принято говорить, разложить по формам собственных колебаний. Число групп нагрузок равняется числу собственных частот системы;

в) после выполнения указанных выше двух вспомогательных операций сделать расчет для каждой группы нагрузок по известным формулам из теории колебаний системы с одной степенью свободы, причем частота собственных колебаний в этих формулах принимается та, которой соответствует данная группа нагрузки;

г) частные решения от каждой категории нагрузок суммируют, чем и определяется окончательное решение задачи.

Определение собственных частот выполняется согласно (9.2). Что касается выявления форм собственных колебаний, то здесь необходимо руководствоваться тем основным свойством любой формы собственных колебаний, что она представляет собой линию влияния прогиба от сил (число которых равно числу степеней свободы), пропорциональных произведению масс на ординаты прогибов точек прикрепления масс. При равных массах форма собственных колебаний представляет линию прогиба от сил, пропорциональных ординатам прогиба; эпюра нагрузки подобна эпюре прогиба.

Низшей частоте соответствует наиболее простая форма колебаний. Для балок чаще всего эта форма близко отвечает изогнутой оси системы под влиянием собственного веса. Если данная конструкция оказывается менее жесткой в каком-либо направлении, например в горизонтальном, то для выявления характера искомой изогнутой оси надлежит условно собственный вес приложить в этом направлении.

Системы с двумя степенями свободы являются частным случаем систем с несколькими степенями свободы. Но эти системы являются простейшими, позволяющими еще получить в конечном виде расчетные формулы для определения частот колебаний, амплитуд и динамических прогибов.

yПрогибы балки от действия инерционных сил:

P 2 =1(1)

Знаки (-) в выражениях (1) вызваны тем, что инерционные силы и ед. перемещения имеют противоположное направление.

Считаем, что колебания масс совершаются по гармоническому закону:

(2)

Найдем ускорения движения масс:

(3)

Подставляя выражение (2) и (3) в уравнение (1) получим:

(5)

Неизвестными считаем амплитуды колебаний А 1 и А 2 , преобразуем уравнения:

(6)

Решение системы однородных уравнений А 1 = А 2 =0 нас не устраивает, чтобы получит не нулевое решение прировняем нулю детерминант системы (6):

(7)

преобразуем уравнение (8), считая неизвестной круговую частоту собственных колебаний :

Уравнение (9) называется бигармоническим уравнением свободных колебаний систем с двумя степенями свободы.

Заменяя переменную  2 =Z, получим

отсюда определяем Z 1 иZ 2.

В результате можно сделать следующие выводы:

1. Свободные колебания систем с двумя степенями свободы происходят с двумя частотами  1 и 2 . Более низкая частота 1 называется основной или основным тоном, более высокая частота 2 - называется второй частотой или обертоном.

Свободные колебания систем с n-степенями свободы являютсяn-тонными, состоящими изnсвободных колебаний.

2. Перемещения масс m 1 иm 2 выражаются следующими формулами:

т.е., если колебания происходят с частотой  1 ,, то в любой момент времени перемещения масс имеют одинаковые знаки.

Если колебания происходят только с частотой  2 ,, то перемещения масс в любой момент времени имеют противоположные знаки.

При одновременном колебании масс с частотами  1 и 2 система в основном колеблется по частоте 1 и в эти колебания вписывается обертон с частотой 2 .

Если на систему с двумя степенями свободы действуют вынуждающая сила с частотой , то необходимо чтобы:

  0,7  1 .

Лекция 9

Колебания систем с бесконечным числом степеней свободы.

Теория механических колебаний имеет многозначисленные и весьма разнообразные приложения едва ли не во всех областях техники. Независимо от назначения и конструктивного решения различных механических систем их колебания подчиняются одним и тем же физическим закономерностям, изучение которых и составляет предмет теории колебаний упругих систем. Наиболее полно разработана линейная теория колебаний. Теория колебаний систем с несколькими степенями свободы была дана еще в XVIII веке Лагранжем в его классическом труде "Аналитическая механика".

Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) - с 19-летнего возраста профессор математики в Турине. С 1759 года - член, а с 1766 года - президент Берлинской Академии наук; с 1787 года жил в Париже. В 1776 году был избран почетным иностранным членом Петербургской Академии наук.

В конце XIX века Рэлеем были заложены основы линейной теории колебаний систем с бесконечной степенью степеней свободы (т.е. с непрерывным распределением массы по всему объему деформируемой системы). В XX веке линейная теория, можно сказать, была завершена (метод Бубнова-Галеркина, который позволяет с помощью последовательных приближений определять также высшие частоты колебаниий).

Джон Уильям Стретт (лорд Рэлей) (1842 - 1919) - английский физик, автор ряда работ по теории колебаний.

Иван Григорьевич Бубнов (1872 - 1919) - один из основоположников строительной механики корабля. Профессор Петербургского политехнического института, с 1910 года - Морской академии.

Борис Григорьевич Галеркин (1871- 1945) - профессор Ленинградского политехнического института.

Формула Рэлея наиболее популярна в теории колебаний и устойчивости упругих систем. Идея, лежащая в основе вывода формулы Рэлея, сводится к следующему. При моногармонических (однотонных) свободных колебаниях упругой системы с частотой , перемещения ее точек совершаются во времени по гармоническому закону:

где  1 (x,y,z), 2 (x,y,z), 3 (x,y,z) - функции пространственных координат точки, определяющие рассматриваемую форму колебаний (амплитудную).

Если эти функции известны, то частоту свободных колебаний можно найти из условия постоянства суммы кинетической и потенциальной энергии тела. Это условие приводит к уравнению, содержащему лишь одну неизвестную величину.

Однако указанные функции заранее неизвестны. Руководящая идея метода Рэлея состоит в том, чтобы задаваться этими функциями, сообразуя их выбор с граничными условиями и ожидаемой формой колебаний.

Подробнее рассмотрим реализацию этой идеи для плоских изгибных колебаний стержня, форма колебаний описывается функцией =(x). Свободные колебания описываются зависимостью

потенциальная энергия изогнутого стержня

(2)

кинетическая энергия

(3)

где l - длина стержня, m=m(x) интенсивность распределенной массы стержня;

Кривизна изогнутой оси стержня;- скорость поперечных колебаний.

Учитывая (1)

.

(4)

(5)

С течением времени каждая из этих величин непрерывно меняется, но, согласно закону сохранения энергии их сумма остается постоянной, т.е.

или подставляя сюда выражения (4), (5)

(7)

Отсюда следует формула Рэлея:

(8)

Если со стержнем с распределенной массой m, связаны сосредоточенные грузы с массами M i , то формула Рэлея приобретает вид:

(9)

Весь ход вывода показывает, что в рамках принятых допущений (справедливость технической теории изгиба стержней, отсутствия неупругих сопротивлений) эта формула точная, если (x) - истинная форма колебаний. Однако функция(x) заранее неизвестна. Практическое значение формулы Рэлея состоит в том, что с ее помощью можно найти собственную частоту, задаваясь формой колебаний(x). При этом в решение вностися более или менее серьезный элемент приближенности. По этой причине формулу Рэлея иногда называют приближенной.

m=cosntПримем в качестве формы колебаний функцию:(x)=ax 2 , которая удовлетворяет кинематическим граничным условиям задачи.

Определяем:

По формуле (8)

Этот результат значительно отличается от точного

Более точной является формула Граммеля, которая до сих пор еще не стала такой популярной, как формула Рэлея (возможно, вследствие своей относительной "молодости" - она предложена в 1939 году).

Снова остановимся на той же задаче о свободных изгибных колебаниях стержня.

Пусть (x) - задаваемая форма свободных колебаний стержня. Тогда интенсивность максимальных сил инерции определяется выражением m 2 , где по прежнему m=m(x) - интенсивность распределенной массы стержня; 2 - квадрат собственной частоты. Эти силы достигают указанного значения в тот момент, когда прогибы максимальны, т.е. определяются функцией(x).

Запишем выражение наибольшей потенциальной энергии изгиба через изгибающие моменты, вызываемые максимальными силами инерции:

. (10)

Здесь - изгибающие моменты, вызываемые нагрузкой m 2 . Обозначим изг - изгибающий момент, вызываемый условной нагрузкой m, т.е. в 2 раз меньший, чем силы инерции.

, (11)

и выражение (10) можно записать в виде:

. (12)

Наибольшая кинетическая энергия, как и выше

. (13)

Приравнивая выражения (12) и (13) приходим к формуле Граммеля:

(14)

Для вычислений по этой формуле необходимо прежде всего задаться подходящей функцией (x). После этого определяется условная нагрузка m=m(x)(x) и записываются выражения изг вызываемые условной нагрузкой m. По формуле (14) определяют частоту собственных колебаний системы.

Пример: (рассматриваем предыдущий)

y

m(x)·(x)=max 2