ВВЕДЕНИЕ
Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы;
но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.
Козьма Прутков
Основная цель изучения математики в средних специальных учебных заведениях состоит в том, чтобы дать студентам набор математических знаний и навыков, необходимых для изучения других программных дисциплин, использующих в той или иной мере математику, для умения выполнять практические расчеты, для формирования и развития логического мышления.
В данной работе последовательно вводятся все базовые понятия раздела математики "Основы теории вероятностей и математической статистики", предусмотренные программой и Государственными образовательными стандартами среднего профессионального образования (Министерство образования Российской Федерации. М., 2002г.), формулируются основные теоремы, большая часть которых не доказывается. Рассматриваются основные задачи и методы их решения и технологии применения этих методов к решению практических задач. Изложение сопровождается подробными комментариями и многочисленными примерами.
Методические указания могут быть использованы для первичного ознакомления с изучаемым материалом, при конспектировании лекций, для подготовки к практическим занятиям, для закрепления полученных знаний, умений и навыков. Кроме того, пособие будет полезно и студентам- старшекурсникам как справочное пособие, позволяющее быстро восстановить в памяти то, что было изучено ранее.
В конце работы приведены примеры и задания, которые студенты могут выполнять в режиме самоконтроля.
Методические указания предназначены для студентов заочной и дневной форм обучения.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира.
В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая.
Случайное явление можно охарактеризовать отношением числа его наступлений к числу испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить или не наступить.
Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении.
Математическая статистика - это раздел математики, который имеет своим предметом изучения методов сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия решений.
При этом под статистическими данными понимается совокупность чисел, которые представляют количественные характеристики интересующих нас признаков изучаемых объектов. Статистические данные получаются в результате специально поставленных опытов, наблюдений.
Статистические данные по своей сущности зависят от многих случайных факторов, поэтому математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой.
I. ВЕРОЯТНОСТЬ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1. Основные понятия комбинаторики
В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3,: , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.п.
Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 143 и 431), другие - входящими в них цифрами (например, 5671 и 1207), третьи различаются и числом цифр (например, 143 и 43).
Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.
В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания .
Предварительно познакомимся с понятием факториала .
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут .
Вычислить: а) ; б) ; в) .
Решение. а) .
б) Так как и
, то можно
вынести за скобки
Тогда получим
в) 
.
Перестановки.
Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.
Перестановки обозначаются символом Р n , где n- число элементов, входящих в каждую перестановку. (Р - первая буква французского слова permutation - перестановка).
Число перестановок можно вычислить по формуле
или с помощью факториала:
Запомним, что 0!=1 и 1!=1.
Пример 2. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?
Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.
Размещения.
Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения.
Размещения обозначаются символом , где m - число всех имеющихся элементов, n - число элементов в каждой комбинации. (А- первая буква французского слова arrangement , что означает "размещение, приведение в порядок").
При этом полагают, что nm.
Число размещений можно вычислить по формуле
,
т.е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых большее есть m .
Запишем эту формулу в факториальной форме:
Пример 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?
Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.
.
Сочетания.
Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n , которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n- натуральные числа, причем n m ).
Число сочетаний из m элементов по n обозначаются (С -первая буква французского слова combination - сочетание).
В общем случае число из m элементов по n равно числу размещений из m элементов по n , деленному на число перестановок из n элементов:
Используя для чисел размещений и перестановок факториальные формулы, получим:
Пример 4. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать способами.
Находим по первой формуле
.
Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:
(по определению полагают и );
.
1.2. Решение комбинаторных задач
Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?
Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько можно составить размещений из 16 элементов по 3.
Задача 2. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 3. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?
.
Задача 4. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?
Решение. Солдат в дозор можно выбрать
способами, а офицеров способами. Так как с каждой командой из солдат может пойти любой офицер, то всего имеется способов.
Задача 5. Найти , если известно, что .
Так как , то получим
,
,
По определению сочетания следует, что , . Т.о. .
1.3. Понятие о случайном событии. Виды событий. Вероятность события
Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.
Результат этого действия или наблюдения называется событием .
Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным . В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным , а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,- невозможным .
События называются несовместными , если каждый раз возможно появление только одного из них.
События называются совместными , если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.
События называются противоположными , если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.
События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, Д, : .
Полной системой событий А 1 , А 2 , А 3 , : , А n называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании.
Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и .
Пример. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными:
достали пронумерованный шар (А);
достали шар с четным номером (В);
достали шар с нечетным номером (С);
достали шар без номера (Д).
Какие из них образуют полную группу?
Решение. А - достоверное событие; Д - невозможное событие;
В и С - противоположные события.
Полную группу событий составляют А и Д, В и С .
Вероятность события, рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.
1.4. Классическое определение вероятности
Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А).
Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А , к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е. .
Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношение m к n .
Из этого определения вытекают следующие свойства:
Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.
Действительно, число m искомых событий заключено в пределах . Разделив обе части на n , получим
2. Вероятность достоверного события равна единице, т.к. .
3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку .
Задача 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение. Общее число различных исходов есть n =1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим
.
Задача 2. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.
Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5 т.е.
Подсчитаем число m, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:
Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно
.
Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций m составляет
Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов m, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных независимых исходов:
.
Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.
Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А 1 +А 2 + : +А n .
Теорема сложения вероятностей.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна суммевероятностей этих событий.
Следствие 1. Если событие А 1 , А 2 , : ,А n образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна единице.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий и равна единице.
.
Задача 1. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.
Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то
Задача 2. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С . Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С .
Мама мыла раму
Под занавес продолжительных летних каникул пришло время потихоньку возвращаться к высшей математике и торжественно открыть пустой вёрдовский файл, чтобы приступить к созданию нового раздела – . Признаюсь, нелегко даются первые строчки, но первый шаг – это пол пути, поэтому я предлагаю всем внимательно проштудировать вводную статью, после чего осваивать тему будет в 2 раза проще! Ничуть не преувеличиваю. …Накануне очередного 1 сентября вспоминается первый класс и букварь…. Буквы складываются в слоги, слоги в слова, слова в короткие предложения – Мама мыла раму. Совладать с тервером и математической статистикой так же просто, как научиться читать! Однако для этого необходимо знать ключевые термины, понятия и обозначения, а также некоторые специфические правила, которым и посвящён данный урок.
Но сначала примите мои поздравления с началом (продолжением, завершением, нужное отметить) учебного года и примите подарок. Лучший подарок – это книга, и для самостоятельной работы я рекомендую следующую литературу:
1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика
Легендарное учебное пособие, выдержавшее более десяти переизданий. Отличается доходчивостью и предельной простой изложения материала, а первые главы так и вовсе доступны, думаю, уже для учащихся 6-7-х классов.
2) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике
Решебник того же Владимира Ефимовича с подробно разобранными примерами и задачами.
ОБЯЗАТЕЛЬНО закачайте обе книги из Интернета или раздобудьте их бумажные оригиналы! Подойдёт и версия 60-70-х годов, что даже лучше для чайников. Хотя фраза «теория вероятностей для чайников» звучит довольно нелепо, поскольку почти всё ограничивается элементарными арифметическими действиями. Проскакивают, правда, местами производные и интегралы , но это только местами.
Я постараюсь достичь той же ясности изложения, но должен предупредить, что мой курс ориентирован на решение задач и теоретические выкладки сведены к минимуму. Таким образом, если вам нужна развёрнутая теория, доказательства теорем (теорем-теорем!), пожалуйста, обратитесь к учебнику. Ну, а кто хочет научиться решать задачи по теории вероятностей и математической статистике в самые короткие сроки , следуйте за мной!
Для начала хватит =)
По мере прочтения статей целесообразно знакомиться (хотя бы бегло) с дополнительными задачами рассмотренных видов. На странице Готовые решения по высшей математике будут размещаться соответствующие pdf-ки с примерами решений. Также значительную помощь окажут ИДЗ 18.1 Рябушко (попроще) и прорешанные ИДЗ по сборнику Чудесенко (посложнее).
1) Суммой двух событий и называется событие которое состоит в том, что наступит или событие или событие или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны , последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие или событие .
Правило распространяется и на бОльшее количество слагаемых, например, событие 
состоит в том, что произойдёт хотя бы одно
из событий 
, а если события несовместны
– то одно и только одно
событие из этой суммы: или
событие , или
событие , или
событие , или
событие , или
событие .
Примеров масса:
События (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.
Событие (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка .
Событие 
(будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или
2 или
4 или
6 очков.
Событие заключается в том, что из колоды будет извлечена карта красной масти (черва или
бубна), а событие 
– в том, что будет извлечена «картинка» (валет или
дама или
король или
туз).
Чуть занятнее дело с совместными событиями:
Событие состоит в том, что из колоды будет извлечена трефа или семёрка или семёрка треф. Согласно данному выше определению, хотя бы что-то – или любая трефа или любая семёрка или их «пересечение» – семёрка треф. Легко подсчитать, что данному событию соответствует 12 элементарных исходов (9 трефовых карт + 3 оставшиеся семёрки).
Событие состоит в том, что завтра в 12.00 наступит ХОТЯ БЫ ОДНО из суммируемых совместных событий , а именно:
– или будет только дождь / только гроза / только солнце;
– или наступит только какая-нибудь пара событий (дождь + гроза / дождь + солнце / гроза + солнце);
– или все три события появятся одновременно.
То есть, событие включает в себя 7 возможных исходов.
Второй столп алгебры событий:
2) Произведением двух событий и называют событие , которое состоит в совместном появлении этих событий, иными словами, умножение означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие , и событие . Аналогичное утверждение справедливо и для бОльшего количества событий, так, например, произведение подразумевает, что при определённых условиях произойдёт и событие , и событие , и событие , …, и событие .
Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты и следующие события:
– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 1-й монете выпадет решка;
– на 2-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет решка.
Тогда:
и
на 2-й) выпадет орёл;
– событие состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и
на 2-й) выпадет решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет орёл и
на 2-й монете решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и
на 2-й монете орёл.
Нетрудно заметить, что события несовместны (т.к. не может, например, выпасть 2 орла и в то же самое время 2 решки) и образуют полную группу (поскольку учтены все возможные исходы броска двух монет) . Давайте просуммируем данные события: . Как интерпретировать эту запись? Очень просто – умножение означает логическую связку И , а сложение – ИЛИ . Таким образом, сумму легко прочитать понятным человеческим языком: «выпадут два орла или две решки или на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й решка или на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл »
Это был пример, когда в одном испытании задействовано несколько объектов, в данном случае – две монеты. Другая распространенная в практических задачах схема – это повторные испытания , когда, например, один и тот же игральный кубик бросается 3 раза подряд. В качестве демонстрации рассмотрим следующие события:
– в 1-м броске выпадет 4 очка;
– во 2-м броске выпадет 5 очков;
– в 3-м броске выпадет 6 очков.
Тогда событие 
состоит в том, что в 1-м броске выпадет 4 очка и
во 2-м броске выпадет 5 очков и
в 3-м броске выпадет 6 очков. Очевидно, что в случае с кубиком будет значительно больше комбинаций (исходов), чем, если бы мы подбрасывали монету.
…Понимаю, что, возможно, разбираются не очень интересные примеры, но это часто встречающиеся в задачах вещи и от них никуда не деться. Помимо монетки, кубика и колоды карт вас поджидают урны с разноцветными шарами, несколько анонимов, стреляющих по мишени, и неутомимый рабочий, который постоянно вытачивает какие-то детали =)
Вероятность события
Вероятность события – это центральное понятие теории вероятностей. …Убийственно логичная вещь, но с чего-то надо было начинать =) Существует несколько подходов к её определению:
;
Геометрическое определение вероятности
;
Статистическое определение вероятности
.
В данной статье я остановлюсь на классическом определении вероятностей, которое находит наиболее широкое применение в учебных заданиях.
Обозначения . Вероятность некоторого события обозначается большой латинской буквой , а само событие берётся в скобки, выступая в роли своеобразного аргумента. Например:
Также для обозначения вероятности широко используется маленькая буква . В частности, можно отказаться от громоздких обозначений событий и их вероятностей 
в пользу следующей стилистики::
– вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
– вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти.
Данный вариант популярен при решении практических задач, поскольку позволяет заметно сократить запись решения. Как и в первом случае, здесь удобно использовать «говорящие» подстрочные/надстрочные индексы.
Все уже давно догадались о числах, которые я только что записал выше, и сейчас мы узнаем, как они получились:
Классическое определение вероятности :
Вероятностью наступления события в некотором испытании называют отношение , где:
– общее число всех равновозможных , элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий ;
– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .
При броске монеты может выпасть либо орёл, либо решка – данные события образуют полную группу
, таким образом, общее число исходов ; при этом, каждый из них элементарен
и равновозможен
. Событию благоприятствует исход (выпадение орла). По классическому определению вероятностей: 
.
Аналогично – в результате броска кубика может появиться элементарных равновозможных исходов, образующих полную группу, а событию благоприятствует единственный исход (выпадение пятёрки). Поэтому: 
.ЭТОГО ДЕЛАТЬ НЕ ПРИНЯТО
(хотя не возбраняется прикидывать проценты в уме).
Принято использовать доли единицы , и, очевидно, что вероятность может изменяться в пределах . При этом если , то событие является невозможным , если – достоверным , а если , то речь идёт о случайном событии.
! Если в ходе решения любой задачи у вас получилось какое-то другое значение вероятности – ищите ошибку!
При классическом подходе к определению вероятности крайние значения (ноль и единица) получаются посредством точно таких же рассуждений. Пусть из некой урны, в которой находятся 10 красных шаров, наугад извлекается 1 шар. Рассмотрим следующие события:
в единичном испытании маловозможное событие не произойдёт .
Именно поэтому Вы не сорвёте в лотерее Джек-пот, если вероятность этого события, скажем, равна 0,00000001. Да-да, именно Вы – с единственным билетом в каком-то конкретном тираже. Впрочем, бОльшее количество билетов и бОльшее количество розыгрышей Вам особо не помогут. ...Когда я рассказываю об этом окружающим, то почти всегда в ответ слышу: «но ведь кто-то выигрывает». Хорошо, тогда давайте проведём следующий эксперимент: пожалуйста, сегодня или завтра купите билет любой лотереи (не откладывайте!). И если выиграете... ну, хотя бы больше 10 килорублей, обязательно отпишитесь – я объясню, почему это произошло. За процент, разумеется =) =)
Но грустить не нужно, потому что есть противоположный принцип: если вероятность некоторого события очень близка к единице, то в отдельно взятом испытании оно практически достоверно произойдёт. Поэтому перед прыжком с парашютом не надо бояться, наоборот – улыбайтесь! Ведь должны сложиться совершенно немыслимые и фантастические обстоятельства, чтобы отказали оба парашюта.
Хотя всё это лирика, поскольку в зависимости от содержания события первый принцип может оказаться весёлым, а второй – грустным; или вообще оба параллельными.
Пожалуй, пока достаточно, на уроке Задачи на классическое определение вероятности мы выжмем максимум из формулы . В заключительной же части этой статьи рассмотрим одну важную теорему:
Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, равна единице . Грубо говоря, если события образуют полную группу, то со 100%-й вероятностью какое-то из них произойдёт. В самом простом случае полную группу образуют противоположные события, например:
– в результате броска монеты выпадет орёл;
– в результате броска монеты выпадет решка.
По теореме: 
Совершенно понятно, что данные события равновозможны и их вероятности одинаковы 
.
По причине равенства вероятностей равновозможные события часто называют равновероятными . А вот и скороговорка на определение степени опьянения получилась =)
Пример с кубиком: события противоположны, поэтому 
.
Рассматриваемая теорема удобна тем, что позволяет быстро найти вероятность противоположного события. Так, если известна вероятность того, что выпадет пятёрка, легко вычислить вероятность того, что она не выпадет:
Это гораздо проще, чем суммировать вероятности пяти элементарных исходов. Для элементарных исходов, к слову, данная теорема тоже справедлива:
. Например, если – вероятность того, что стрелок попадёт в цель, то – вероятность того, что он промахнётся.
! В теории вероятностей буквы и нежелательно использовать в каких-то других целях.
В честь Дня Знаний я не буду задавать домашнее задание =), но очень важно, чтобы вы могли ответить на следующие вопросы:
– Какие виды событий существуют?
– Что такое случайность и равновозможность события?
– Как вы понимаете термины совместность/несовместность событий?
– Что такое полная группа событий, противоположные события?
– Что означает сложение и умножение событий?
– В чём суть классического определения вероятности?
– Чем полезна теорема сложения вероятностей событий, образующих полную группу?
Нет, зубрить ничего не надо, это всего лишь азы теории вероятностей – своеобразный букварь, который довольно быстро уложится в голове. И чтобы это произошло как можно скорее, предлагаю ознакомиться с уроками
По данной теме ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Выполните упражнения для самопроверки.
Элементы теории вероятностей.
Основные понятия комбинаторики. Задачи, при решении которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и производить подсчет числа всех возможных таких комбинаций, называются комбинаторными .
Этот раздел математики находит широкое практическое применение во многих вопросах естествознания и техники.
Размещения. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, содержащее по m элементов, называется размещением из n элементов по m элементов.
Из определения вытекает, что и что размещения из n элементов по m – это m -элементные подмножества, отличающиеся составом элементов или порядком их следования.
Число размещений из n элементов по m элементов в каждом обозначаются и вычисляются по формуле .
Число размещений из n элементов по m элементов в каждом равно произведению m последовательно убывающих натуральных чисел, из которых большее есть n .
Для кратности произведения первых n
натуральных чисел принято обозначать (n
-факториал): 
Тогда формулу числа размещений из n
элементов по m
элементов можно записать в другом виде: 
.
Пример 1. Сколькими способами из группы, включающей 25 студентов, можно выбрать актив группы в составе старосты, заместителя старосты и профорга?
Решение. Состав актива группы является упорядоченным множеством из 25 элементов по три элемента. Значит. Искомое число способов равно числу размещений из 25 элементов по три элемента в каждом: , или .
Пример 2. Перед выпуском группа студентов в 30 человек обменялась фотографиями. Сколько всего было роздано фотографий?
Решение. Передача фотографии одним студентом другому есть размещение из 30 элементов по два элемента. Искомое число фотографий равно числу размещений из 30 элементов по два элемента в каждом: 
.
Перестановки. Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов.
Из определения следует, что перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.
Число перестановок из n
элементов данного множества обозначают и вычисляют по формуле 
Пример 3. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторений?
Решение. По условию дано множество из четырех элементов, которые требуется расположить в определенным порядке. Значит, требуется найти количество перестановок из четырех элементов: 
, т.е. из цифр 1. 2, 3, 4 можно составить 24 четырехзначных числа (без повторений цифр)
Пример 4. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?
Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из десяти элементов: 
.
Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, состоящее из m элементов, называется сочетанием из n элементов по m элементов.
Таким образом, сочетания из n элементов по m элементов – это все m -элементные подмножества n -элементного множества, причем различными множествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав элементов.
Подмножества, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов, не считаются различными.
Число подмножеств по m
элементов в каждом, содержащихся во множестве из n
элементов, т.е. число сочетаний из n
элементов по m
элементов в каждом, обозначают и вычисляют по формуле: 
или 
.
Число сочетаний обладает следующим свойством: 
(
).
Пример 5. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?
Решение. Так как игра любой команды A
с командой B
совпадает с игрой команды B
с командой A
, то каждая игра есть сочетание из 20 элементов по 2. искомое число всех игр равно числу сочетаний из 20 элементов по 2 элемента в каждом: 
.
Пример 6. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?
Решение. Состав каждой бригады является конечным множеством из 12 элементов по 6. значит, искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом: 
.
Случайные события. Вероятность события. Теория вероятностей – это математическая наука, которая изучает закономерности в случайных событиях. К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и события.
Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непрерывно произойдет какое-либо событие.
Например, бросание монеты – испытание; появление герба ил и цифры – события.
Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти, а может и не произойти. Слово «случайное» для краткости часто опускают и говорят просто «событие». Например, выстрел по цели – это опыт, случайные события в этом опыте – попадание в цель или промах.
Событие в данных условиях называется достоверным , если в результате опыта оно непрерывно должно произойти, и невозможным , если оно заведомо не произойдет. Например, выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости – достоверное событие; выпадение десяти очков при бросании одной игральной кости – невозможное событие.
События называются несовместимыми , если никакие два из них не могут появится вместе. Например, попадание и промах при одном выстреле – это несовместимые события.
Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную систему событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков, образуют полную группу событий.
События называются равновозможными , если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие. Например, при бросании монеты выпадение герба или числа – события равновозможные.
Каждое событие обладает какой-то степенью возможности. Числовая мера степени объективной возможности события – это вероятность события. Вероятность события A обозначается P(A) .
Пусть из системы n
несовместных равновозможныхисходов испытания m
исходов благоприятствуют событию A
. Тогда вероятностью
события A
называют отношение m
числа исходов, благоприятствующих событию A
, к числу всех исходов данного испытания: 
.
Эта формула носит название классического определения вероятности.
Если B
– достоверное событие, то n=m
и P(B)=1
; если С
– невозможное событие, то m=0
и P(С)=0
; если A
– случайное событие, то 
и 
.
Таким образом, вероятность события заключается в следующих пределах: 
.
Пример 7. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятность событий: A – появление четного числа очков; B – появление не менее пяти очков; C – появление не более пяти очков.
Решение. Опыт имеет шесть равновозможных независимых исходов (появление одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков), образующих полную систему.
Событию A
благоприятствуют три исхода (выпадение двух, четырех и шести очков), поэтому 
; событию B
– два исхода (выпадение пяти и шести очков), поэтому 
; событию C
– пять исходов (выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти очков), поэтому 
.
При вычислении вероятности часто приходится использовать формулы комбинаторики.
Рассмотрим примеры непосредственного вычисления вероятностей.
Пример 8. В урне 7 красных шаров и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие A )?
Решение. Число равновозможных независимых исходов равно 
.
Событию A
благоприятствуют 
исходов. Следовательно, 
.
Пример 9. В партии из 24 деталей пять бракованных. Из партии выбирают наугад 6 деталей. Найти вероятность того, что среди этих 6 деталей окажутся 2 бракованных (событие B )?
Решение. Число равновозможных независимых исходов равно .
Подсчитаем число исходов m
, благоприятствующих событию B
. Среди шести взятых наугад деталей должно быть 2 бракованных и 4 стандартных. Две бракованные детали из пяти можно выбрать 
способами, а 4 стандартных детали из 19 стандартных деталей можно выбрать 
способами.
Каждая комбинация бракованных деталей может сочетаться с каждой комбинацией стандартных деталей, поэтому . Следовательно, 
.
Пример 10. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книг окажутся поставленными рядом (событие С )?
Решение. Здесь число равновозможных независимых исходов есть 
. Подсчитаем число исходов т
, благоприятствующих событию С
. Представим себе, что четыре определенные книги связаны вместе, тогда связку можно расположить на полке 
способами (вязка плюс остальные пять книг). Внутри связки четыре книги можно переставлять 
способами. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каждым из способов образования связки, т.е. 
. Следовательно, 
.
для студентов 2 курса всех специальностей
Кафедра Высшей математики
Вводная часть
Уважаемые студенты!
Вашему вниманию предлагается обзорная (установочная) лекция профессора Н.Ш.Кремера по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов второго курса ВЗФЭИ.
В лекции обсуждаются задачи изучения теории вероятностей и математической статистики в экономическом вузе и ее место в системе подготовки современного экономиста, рассматривается организация самостоятельной работы студентов с использованием компьютерной обучающей системы (КОПР) и традиционных учебников, даются обзор основных положений данного курса, а также методические рекомендации по ее изучению.
Среди математических дисциплин, изучаемых в экономическом вузе, теория вероятностей и математическая статистика занимает особое положение. Во-первых, она является теоретической базой статистических дисциплин. Во-вторых, методы теории вероятностей и математической статистики непосредственно используются при изучении массовых совокупностей наблюдаемых явлений, обработке результатов наблюдений и выявлении закономерностей случайных явлений. Наконец, теория вероятностей и математическая статистика имеет важное методологическое значение в познавательном процессе , при выявлении общей закономерности исследуемых процессов, служит логической основой индуктивно-дедуктивного умозаключения.
Каждый студент второго курса должен иметь следующий набор (кейс) по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»:
1. Обзорную установочную лекцию по данной дисциплине.
2. Учебник Н.Ш. Кремера «Теория вероятностей и математическая статистика» – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2007 (в дальнейшем будем называть просто «учебник»).
3. Учебно-методическое пособие «Теория вероятностей и математическая статистика»/ под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Вузовский учебник, 2005 (в дальнейшем «пособие»).
4. Компьютерную обучающую программу КОПР по дисциплине (в дальнейшем – «компьютерная программа»).
На сайте института на странице «Корпоративные ресурсы» размещены интернет-версии компьютерной программы КОПР2, обзорной установочной лекции и электронной версии пособия. Кроме того, компьютерная программа и пособие представлены на CD - ROM ах для студентов второго курса. Поэтому в «бумажном виде» студенту необходимо иметь лишь учебник.
Поясним назначение каждого из учебно-методических материалов, входящий в указанный набор (кейс).
В учебнике изложены основные положения учебного материала дисциплины, иллюстрируемые достаточно большим числом решенных задач.
В пособии даны методические рекомендации по самостоятельному изучению учебного материала, выделены наиболее важные понятия курса и типовые задачи, даны контрольные вопросы для самопроверки по данной дисциплине, приведены варианты домашних контрольных работ, которые должен выполнить студент, а также методические указания по их выполнению.
Компьютерная программа призвана оказать Вам максимальную помощь в усвоении курса в режиме диалога программы со студентом с тем, чтобы в наибольшей степени восполнить отсутствие у Вас аудиторных занятий, соответствующего контакта с преподавателем.
Для студента, обучающегося по системе дистанционного обучения, первостепенное, определяющее значение имеет организация самостоятельной работы.
Приступая к изучению данной дисциплины, прочтитедо конца настоящую обзорную (установочную) лекцию. Это позволит Вам получить в целом представление об основных понятиях и методах, используемых в курсе «Теория вероятностей и математическая статистика», и требованиях, предъявляемых к уровню подготовки студентов ВЗФЭИ.
Перед изучением каждой темы ознакомьтесь с методическими рекомендациями к изучению данной темы по пособию. Здесь Вы найдете перечень учебных вопросов данной темы, которые Вам предстоит изучить; выясните, какие понятия, определения, теоремы, задачи являются наиболее важными, которые надо изучить и освоить в первую очередь.
Затем перейдите к изучению основного учебного материала по учебнику в соответствии с полученными методическими рекомендациями. Советуем конспектировать в отдельной тетради основные определения, формулировки теорем, схемы их доказательств, формулы и решения типовых задач. Формулы целесообразно выписывать в специальные таблицы для каждой части курса: теория вероятностей и математическая статистика. Регулярное пользование конспектом, в частности, таблицами формул, способствует их запоминанию.
Лишь после проработки основного учебного материала каждой темы по учебнику можно перейти к изучению этой темы с помощью компьютерной обучающей программы (КОПР2).
Обратите внимание на структуру построения компьютерной программы по каждой теме. После названия темы приводится перечень основных учебных вопросов темы по учебнику с указанием номеров параграфов и страниц, которые необходимо изучить. (Напомним, что перечень этих вопросов по каждой теме приведен также и в пособии).
Затем в краткой форме дается справочный материал по данной теме (или по отдельным параграфам этой темы) – основные определения, теоремы, свойства и признаки, формулы и т.п. В процессе изучения темы Вы также можете вызвать на экран те фрагменты справочного материала (по данной или предыдущим темам), которые необходимы в данный момент.
Затем Вам предлагается учебный материал и обязательно типовые задачи (примеры), решение которых рассматривается в режиме диалога программы со студентом. Функции ряда примеров ограничиваются выводом на экран по запросу обучаемого этапов правильного решения. Вместе с тем в процессе рассмотрения большинства примеров Вам будут задаваться вопросы того или иного характера. В качестве ответов на одни вопросы следует вводить с клавиатуры числовой ответ, на другие – выбирать правильный ответ (или ответы) из нескольких предложенных.
В зависимости от введенного Вами ответа программа подтверждает его правильность или предлагает, ознакомившись с подсказкой, содержащей необходимые теоретические положения, вновь попытаться дать правильные решение и ответ. Во многих заданиях установлено ограничение на количество попыток решения (при превышении этого ограничения на экран обязательно выводится правильный ход решения). Имеются и такие примеры, в которых количество информации, содержащееся в подсказке, возрастает по мере повторения неудачных попыток ответа.
После ознакомления с теоретическими положениями учебного материала и примерами, которые снабжены подробным разбором решения, Вы должны выполнить упражнения для самоконтроля, чтобы закрепить навыки решения типовых задач по каждой теме. Задания для самоконтроля также содержат элементы диалога со студентом. По завершению решения Вы можете ознакомиться с правильным ответом и сравнить его с тем, который Вы дали.
В завершение работы по каждой теме следует выполнить контрольные задания. Правильные ответы на них Вам не выводятся, а Ваши ответы записываются на жесткий диск компьютера для последующего ознакомления с ними преподавателя-консультанта (тьютора).
После изучения тем 1–7 Вы должны выполнить домашнюю контрольную работу № 3, а после изучения тем 8–11 – домашнюю контрольную работу № 4. Варианты указанных контрольных работ приведены в пособии (его электронной версии). Номер выполняемого варианта должен совпадать с последней цифрой номера Вашего личного дела (зачетной книжки, студенческого билета). По каждой контрольной работе Вы должны проходить собеседование, на котором необходимо показать умение решать задачи и знание основных понятий (определений, теорем (без доказательства), формул и т.п.) по теме контрольной работы. Завершается изучение дисциплины курсовым экзаменом.
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.
Предлагаемая для изучения дисциплина состоит из двух разделов «Теория вероятностей» и «Математическая статистика».
Теория вероятностей и математическая статистика
1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1 Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений
В теории вероятностей приходится иметь дело с разными видами сходимости случайных величин. Рассмотрим следующие основные виды сходимости: по вероятности, с вероятностью единица, среднем порядка р, по распределению.
Пусть, … - случайные величины, заданные на некотором вероятностном пространстве (, Ф, P).
Определение 1. Последовательность случайных величин, … называется сходящейся по вероятности к случайной величине (обозначение:), если для любого > 0
Определение 2. Последовательность случайных величин, … называется сходящейся с вероятностью единица (почти наверное, почти всюду) к случайной величине, если
т.е. если множество исходов, для которых () не сходятся к (), имеет нулевую вероятность.
Этот вид сходимости обозначают следующим образом: , или, или.
Определение 3. Последовательность случайных величин, … называется сходящейся в среднем порядка р, 0 < p < , если
Определение 4. Последовательность случайных величин,… называется сходящейся по распределению к случайной величине (обозначение:), если для любой ограниченной непрерывной функции
Сходимость по распределению случайных величин определяется только в терминах сходимости их функций распределения. Поэтому об этом виде сходимости имеет смысл говорить и тогда, когда случайные величины заданы на разных вероятностных пространствах.
Теорема 1.
а) Для того чтобы (Р-п.н.), необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0
) Последовательность {} фундаментальна с вероятностью единица тогда и только тогда, когда для любого > 0.
Доказательство.
а) Пусть А = {: |- | }, А= А. Тогда
Поэтому утверждение а) является результатом следующей цепочки импликаций:
Р{: }= 0 P() = 0 = 0 Р(А) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P{ } 0,
n 0, > 0.) Обозначим = {: }, = . Тогда {: {()} не фундаментальна } = и так же, как в а) показывается, что {: {()} не фундаментальна } = 0 P{ } 0, n.
Теорема доказана
Теорема 2. (критерий Коши сходимости почти наверно)
Для того чтобы последовательность случайных величин {} была сходящейся с вероятностью единица (к некоторой случайной величине), необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна с вероятностью единица.
Доказательство.
Если, то +
откуда вытекает необходимость условия теоремы.
Пусть теперь последовательность {} фундаментальна с вероятностью единица. Обозначим L = {: {()} не фундаментальная}. Тогда для всех числовая последовательность {} является фундаментальной и, согласно критерию Коши для числовых последовательностей, существует (). Положим
Так определенная функция является случайной величиной и.
Теорема доказана.
2 Метод характеристических функций
Метод характеристических функций является одним из основных средств аналитического аппарата теории вероятностей. Наряду со случайными величинами (принимающими действительные значения) теория характеристических функций требует привлечения комплекснозначных случайных величин.
Многие из определений и свойств, относящихся к случайным величинам, легко переносятся и на комплексный случай. Так, математическое ожидание М? комплекснозначной случайной величины ?=?+?? считается определенным, если определены математические ожидания М? и М?. В этом случае по определению полагаем М? = М? + ?М?. Из определения независимости случайных элементов следует, что комплекснозначные величины ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2 независимы тогда и только тогда, когда независимы пары случайных величин (?1 , ?1) и (?2 , ?2), или, что то же самое, независимы ?-алгебры F?1, ?1 и F?2, ?2.
Наряду с пространством L2 действительных случайных величин с конечным вторым моментом можно ввести в рассмотрение гильбертово пространство комплекснозначных случайных величин ?=?+?? с М |?|2?|2= ?2+?2, и скалярным произведением (?1 , ?2)= М?1?2¯, где ?2¯- комплексно-сопряженная случайная величина.
При алгебраических операциях векторы Rn рассматриваются как алгебраические столбцы,
Как вектор-строки, a* - (а1,а2,…,аn). Если Rn , то под их скалярным произведением (a,b) будет пониматься величина. Ясно, что
Если аRn и R=||rij|| - матрица порядка nхn, то
Определение 1. Пусть F = F(х1,….,хn) - n-мерная функция распределения в (, ()). Ее характеристической функцией называется функция
Определение 2. Если? = (?1,…,?n) - случайный вектор, определенный на вероятностном пространстве со значениями в, то его характеристической функцией называется функция
где F? = F?(х1,….,хn) - функция распределения вектора?=(?1, … , ?n).
Если функция распределения F(х) имеет плотность f = f(х), то тогда
В этом случае характеристическая функция есть не что иное, как преобразование Фурье функции f(x).
Из (3) вытекает, что характеристическую функцию??(t) случайного вектора можно определить также равенством
Основные свойства характеристических функций (в случае n=1).
Пусть? = ?(?) - случайная величина, F? = F? (х) - её функция распределения и - характеристическая функция.
Следует отметить, что если, то.
В самом деле,
где воспользовались тем, что математическое ожидание произведения независимых (ограниченных) случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Свойство (6) является ключевым при доказательстве предельных теорем для сумм независимых случайных величин методом характеристических функций. В этой связи, функция распределения выражается через функции распределения отдельных слагаемых уже значительно более сложным образом, а именно, где знак * означает свертку распределений.
С каждой функцией распределения в можно связать случайную величину, имеющую эту функцию в качестве своей функции распределения. Поэтому при изложении свойств характеристических функций можно ограничиться рассмотрением характеристических функций случайных величин.
Теорема 1. Пусть? - случайная величина с функцией распределения F=F(х) и - ее характеристическая функция.
Имеют место следующие свойства:
) равномерно непрерывна по;
) является действительнозначной функцией тогда и только тогда, когда распределение F симметрично
)если для некоторого n ? 1 , то при всех существуют производные и
)Если существует и является конечной, то
)Пусть для всех n ? 1 и
тогда при всех |t| Следующая теорема показывает, что характеристическая функция однозначно определяет функцию распределения. Теорема 2 (единственности). Пусть F и G - две функции распределения, имеющие одну и ту же характеристическую функцию, то есть для всех Теорема говорит о том, что функция распределения F = F(х) однозначно восстанавливается по своей характеристической функции. Следующая теорема дает явное представление функции F через. Теорема 3 (формула обобщения). Пусть F = F(х) - функция распределения и - ее характеристическая функция. а) Для любых двух точек a, b (a < b), где функция F = F(х) непрерывна, ) Если то функция распределения F(х) имеет плотность f(x), Теорема 4. Для того чтобы компоненты случайного вектора были независимы, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была произведением характеристических функций компонент: Теорема Бохнера-Хинчина.
Пусть - непрерывная функция, Для того, чтобы была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно-определенной, то есть для любых действительных t1, … , tn и любых комплексных чисел Теорема 5. Пусть - характеристическая функция случайной величины. а) Если для некоторого, то случайная величина является решетчатой с шагом, то есть ) Если для двух различных точек, где - иррациональное число, то случайная величина? является вырожденной: где а - некоторая константа. с) Если, то случайная величина? вырождена. 1.3 Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин Пусть {} - последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин. Математическое ожидание M= a, дисперсия D= , S = , а Ф(х) - функция распределения нормального закона с параметрами (0,1). Введем еще последовательность случайных величин Теорема. Если 0 <<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х (). В этом случае последовательность {} называется асимптотически нормальной. Из того, что М= 1 и из теорем непрерывности вытекает, что наряду со слабой сходимостью, ФМ f() Mf() для любой непрерывной ограниченной f имеет место также сходимость М f() Mf() для любой непрерывной f, такой, что |f(x)| < c(1+|x|) при каком-нибудь. Доказательство. Равномерная сходимость здесь является следствием слабой сходимости и непрерывности Ф(х). Далее, без ограничения общности можно считать а = 0, так как иначе можно было бы рассмотреть последовательность {}, при этом последовательность {} не изменилась бы. Стало быть, для доказательства требуемой сходимости достаточно показать, что (t) e,когда а = 0. Имеем (t) = , где =(t). Так как существует М, то существует и справедливо разложение Следовательно, при n Теорема доказана. 1.4 Основные задачи математической статистики их краткая характеристика Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных - результатах наблюдений. Первая задача математической статистики - указать способы сбора и группировки статистических сведений. Вторая задача математической статистики - разработать методы анализа статистических данных, в зависимости от целей исследования. При решении любой задачи математической статистики располагают двумя источниками информации. Первый и наиболее определенный(явный) - это результат наблюдений (эксперимента) в виде выборки из некоторой генеральной совокупности скалярной или векторной случайной величины. При этом объем выборки n может быть фиксирован, а может и увеличиваться в ходе эксперимента (т. е. могут использоваться так называемые последовательные процедуры статистического анализа). Второй источник - это вся априорная информация об интересующих свойствах изучаемого объекта, которая накоплена к текущему моменту. Формально объем априорной информации отражается в той исходной статистической модели, которую выбирают при решении задачи. Однако и о приближенном в обычном смысле определении вероятности события по результатам опытов говорить не приходится. Под приближенным определением какой-либо величины обычно подразумевают, что можно указать пределы погрешностей, из которых ошибка не выйдет. Частота же события случайна при любом числе опытов из-за случайности результатов отдельных опытов. Из-за случайности результатов отдельных опытов частота может значительно отклоняться от вероятности события. Поэтому, определяя неизвестную вероятность события как частоту этого события при большом числе опытов, не можем указать пределы погрешности и гарантировать, что ошибка не выйдет из этих пределов. Поэтому в математической статистике обычно говорят не о приближенных значениях неизвестных величин, а об их подходящих значениях, оценках. Задача оценивания неизвестных параметров возникает в тех случаях, когда функция распределения генеральной совокупности известна с точностью до параметра. В этом случае необходимо найти такую статистику, выборочное значение которой для рассматриваемой реализации xn случайной выборки можно было бы считать приближенным значением параметра. Статистику, выборочное значение которой для любой реализации xn принимают за приближенное значение неизвестного параметра, называют его точечной оценкой или просто оценкой, а - значением точечной оценки. Точечная оценка должна удовлетворять вполне определенным требованиям для того, чтобы её выборочное значение соответствовало истинному значению параметра. Возможным является и иной подход к решению рассматриваемой задачи: найти такие статистики и,чтобы с вероятностью? выполнялось неравенство: В этом случае говорят об интервальной оценке для. Интервал называют доверительным интервалом для с коэффициентом доверия?. Оценив по результатам опытов ту или иную статистическую характеристику, возникает вопрос: насколько согласуется с опытными данными предположение (гипотеза) о том, что неизвестная характеристика имеет именно то значение, которое получено в результате её оценивания? Так возникает второй важный класс задач математической статистики - задачи проверки гипотез. В некотором смысле задача проверки статистической гипотезы является обратной к задаче оценивания параметра. При оценивании параметра мы ничего не знаем о его истинном значении. При проверке статистической гипотезы из каких-то соображений предполагается известным его значение и необходимо по результатам эксперимента проверить данное предположение. Во многих задачах математической статистики рассматриваются последовательности случайных величин, сходящиеся в том или ином смысле к некоторому пределу (случайной величине или константе), когда. Таким образом, основными задачами математической статистики являются разработка методов нахождения оценок и исследования точности их приближения к оцениваемым характеристикам и разработка методов проверки гипотез. 5 Проверка статистических гипотез: основные понятия Задача разработки рациональных методов проверки статистических гипотез - одна из основных задач математической статистики. Статистической гипотезой (или просто гипотезой) называют любое утверждение о виде или свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Пусть имеется выборка, являющаяся реализацией случайной выборки из генеральной совокупности, плотность распределения которой зависит от неизвестного параметра. Статистические гипотезы относительно неизвестного истинного значения параметра называют параметрическими гипотезами. При этом если - скаляр, то речь идет об однопараметрических гипотезах, а если вектор - то о многопараметрических гипотезах. Статистическую гипотезу называют простой, если она имеет вид где - некоторое заданное значение параметра. Статистическую гипотезу называют сложной, если она имеет вид где - некоторое множество значений параметра, состоящее более чем из одного элемента. В случае проверки двух простых статистических гипотез вида где - два заданных (различных) значения параметра, первую гипотезу обычно называют основной, а вторую - альтернативной, или конкурирующей гипотезой. Критерием, или статистическим критерием, проверки гипотез называют правило, по которому по данным выборки принимается решение о справедливости либо первой, либо второй гипотезы. Критерий задают с помощью критического множества, являющегося подмножеством выборочного пространства случайной выборки. Решение принимают следующим образом: )если выборка принадлежит критическому множеству, то отвергают основную гипотезу и принимают альтернативную гипотезу; )если выборка не принадлежит критическому множеству (т. е. принадлежит дополнению множества до выборочного пространства), то отвергают альтернативную гипотезу и принимают основную гипотезу. При использовании любого критерия возможны ошибки следующих видов: 1)принять гипотезу, когда верна - ошибка первого рода; )принять гипотезу, когда верна - ошибка второго рода. Вероятности совершения ошибок первого и второго рода обозначают и: где - вероятность события при условии, что справедлива гипотеза Указанные вероятности вычисляют с использованием функции плотности распределения случайной выборки: Вероятность совершения ошибки первого рода также называют уровнем значимости критерия. Величину, равную вероятности отвергнуть основную гипотезу, когда она верна, называют мощностью критерия. 1.6 Критерий независимости Имеется выборка ((XY), …, (XY)) из двумерного распределения L с неизвестной функцией распределения, для которой требуется проверить гипотезу H: , где некоторые одномерные функции распределения. Простой критерий согласия для гипотезы H можно построить, основываясь на методике. Эту методику применяют для дискретных моделей с конечным числом исходов, поэтому условимся считать, что случайная величина принимает конечное число s некоторых значений, которые будем обозначать буквами, а вторая компонента - k значений. Если исходная модель имеет другую структуру, то предварительно группируют возможные значения случайных величин отдельно по первой и второй компонентам. В этом случае множество разбивается на s интервалов, множество значение - на k интервалов, а само множество значений - на N=sk прямоугольников. Обозначим через число наблюдений пары (число элементов выборки, принадлежащих прямоугольнику, если данные группируются), так что. Результаты наблюдений удобно расположить в виде таблицы сопряженности двух знаков(табл. 1.1) . В приложениях и обычно означают два признака, по которым производится классификация результатов наблюдения. Пусть Р, i=1,…,s, j=1,…,k. Тогда гипотеза независимости означает, что существует s+k постоянных таких, что и, т.е. Таблица 1.1 Сумма. . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .Сумма. . .n
Таким образом, гипотеза H сводится к утверждению, что частоты (число их равно N = sk) распределены по полиномиальному закону с вероятностями исходов, имеющими указанную специфическую структуру (вектор вероятностей исходов р определяется значениями r=s+k-2 неизвестных параметров. Для проверки этой гипотезы, найдем оценки максимального правдоподобия для определяющих рассматриваемую схему неизвестных параметров. Если справедлива нулевая гипотеза, то функция правдоподобия имеет вид L(p)= где множитель с от неизвестных параметров не зависит. Отсюда по методу неопределенных множителей Лагранжа получаем, что искомые оценки имеют вид Следовательно, статистика L() при, поскольку число степеней свободы в предельном распределении равно N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1). Итак, при достаточно больших n можно использовать следующее правило проверки гипотезы: гипотезу Н отвергают тогда и только тогда, когда вычисленное по фактическим данным значение t статистики удовлетворяет неравенству Этот критерий имеет асимптотически (при) заданный уровень значимости и называется критерием независимости. 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 1 Решения задач о типах сходимости 1. Доказать, что из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности. Приведите контрольный пример, показывающий, что обратное утверждение неверно. Решение. Пусть последовательность случайных величин сходится к случайной величине x почти наверное. Значит, для любого? > 0 Так как, то и из сходимости xn к x почти наверное вытекает, что xn сходится к x по вероятности, так как в этом случае Но обратное утверждение не верно. Пусть - последовательность независимых случайных величин, имеющих одну и ту же функцию распределения F(x), равную нулю при х? 0 и равную при х > 0. Рассмотрим последовательность Эта последовательность сходится к нулю по вероятности, так как стремится к нулю при любом фиксированном? и. Однако сходимость к нулю почти наверное иметь место не будет. Действительно стремится к единице, то есть с вероятностью 1 при любых и n в последовательности найдутся реализации, превосходящие?. Отметим, что при наличии некоторых дополнительных условий, накладываемых на величины xn, сходимость по вероятности влечет сходимость почти наверное. Пусть xn - монотонная последовательность. Доказать, что в этом случае сходимость xn к x по вероятности влечет за собой сходимость xn к x с вероятностью 1. Решение. Пусть xn - монотонно убывающая последовательность, то есть. Для упрощения наших рассуждений будем считать, что x º 0, xn ³ 0 при всех n. Пусть xn сходится к x по вероятности, однако сходимость почти наверное не имеет место. Тогда существует? > 0, такое, что при всех n Но и сказанное означает, что при всех n что противоречит сходимости xn к x по вероятности. Таким образом, для монотонной последовательности xn, сходящийся к x по вероятности, имеет место и сходимость с вероятностью 1 (почти наверное). Пусть последовательность xn сходится к x по вероятности. Доказать, что из этой последовательности можно выделить последовательность, сходящуюся к x с вероятностью 1 при. Решение. Пусть - некоторая последовательность положительных чисел, причем, и - такие положительные числа, что ряд. Построим последовательность индексов n1 Тогда ряд Так как ряд сходится, то при любом? > 0 остаток ряда стремится к нулю. Но тогда стремится к нулю и Доказать, что из сходимости в среднем какого либо положительного порядка следует сходимость по вероятности. Приведите пример, показывающий, что обратное утверждение неверно. Решение. Пусть последовательность xn сходится к величине x в среднем порядка р > 0, то есть Воспользуемся обобщенным неравенством Чебышева: для произвольных? > 0 и р > 0 Устремив и учитывая, что, получим, что то есть xn сходится к x по вероятности. Однако сходимость по вероятности не влечет за собой сходимость в среднем порядка р > 0. Это показывает следующий пример. Рассмотрим вероятностное пространство áW, F , Rñ, где F = B - борелевская s-алгебра, R - мера Лебега. Определим последовательность случайных величин следующим образом: Последовательность xn сходится к 0 по вероятности, так как но при любом р > 0 то есть сходимость в среднем иметь не будет. Пусть, при чем для всех n . Доказать, что в этом случае xn сходится к x в среднеквадратическом. Решение. Заметим, то и. Получим оценку для. Рассмотрим случайную величину. Пусть? - произвольное положительное число. Тогда при и при. Если, то и. Следовательно, . А поскольку? сколь угодно мало и, то при, то есть в среднеквадратическом. Доказать, что если xn сходится к x по вероятности, то имеет место слабая сходимость. Приведите контрольный пример, показывающий, что обратное утверждение неверно. Решение. Докажем, что если, то в каждой точке х, являющейся точкой непрерывности (это необходимое и достаточное условие слабой сходимости), - функция распределения величины xn, а - величины x. Пусть х - точка непрерывности функции F. Если, то справедливо по крайней мере одно из неравенств или. Тогда Аналогично, при справедливо хотя бы одно из неравенств или и Если, то для сколь угодно малого? > 0 существует такое N, что при всех п > N С другой стороны, если х - точка непрерывности то можно найти такое? > 0, что для сколь угодно малого Значит, для сколь угодно малых? и существует такое N, что при п >N или, что то же самое, Это означает, что во всех точках непрерывности имеет место сходимость и. Следовательно, из сходимости по вероятности вытекает слабая сходимость. Обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места. Чтобы убедиться в этом, возьмем последовательность случайных величин, не равных с вероятностью 1 постоянным и имеющих одну и ту же функцию распределения F(x). Считаем, что при всех п величины и независимы. Очевидно, слабая сходимость имеет место, так как у всех членов последовательности одна и та же функция распределения. Рассмотрим: |Из независимости и одинаковой распределенности величин, следует, что Выберем среди всех функций распределений невырожденных случайных величин такую F(x), что будет отлично от нуля при всех достаточно малых?. Тогда не стремится к нулю при неограниченном росте п и сходимость по вероятности иметь место не будет. 7. Пусть имеет место слабая сходимость, где с вероятностью 1 есть постоянная. Доказать, что в этом случае будет сходиться к по вероятности. Решение. Пусть с вероятностью 1 равно а. Тогда слабая сходимость означает сходимость при любых. Так как, то при и при. То есть при и при. Отсюда следует, что для любого? > 0 вероятности стремятся к нулю при. Это значит, что стремится к нулю при, то есть сходиться к по вероятности. 2.2 Решение задач на ЦПТ Значение гамма-функции Г(x) при x= вычисляется методом Монте-Карло. Найдем минимальное число испытаний необходимых для того, что бы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что относительная погрешность вычислений будет меньше одного процента. Для с точностью до имеем Известно, что Сделав в (1) замену, приходим к интегралу по конечному промежутку: У нас, поэтому Как видно, представимо в виде, где, а распределена равномерно на. Пусть произведено статистических испытаний. Тогда статистическим аналогом является величина где, - независимые случайные величины с равномерным на распределением. При этом Из ЦПТ следует, что асимптотически нормальна с параметрами. Значит, минимальное количество испытаний, обеспечивающее с вероятностью относительную погрешность вычисления не более равно. Рассматривается последовательность из 2000 независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием, равным 4, и дисперсией, равной 1,8. Среднее арифметическое этих величин есть случайная величина. Определить вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (3,94; 4,12). Пусть, …,…- последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с M=a=4 и D==1,8. Тогда к последовательности {} применима ЦПТ. Случайная величина Вероятность того, что примет значение в интервале (): При n=2000, 3,94 и 4,12 получим 3 Проверка гипотез критерием независимости В результате проведенного исследования было установлено, что у 782 светлоглазых отцов сыновья тоже имеют светлые глаза, а 89 светлоглазых отцов сыновья - темноглазые. У 50 темноглазых отцов сыновья также темноглазые, а у 79 темноглазых отцов сыновья - светлоглазые. Имеется ли зависимость между цветом глаз отцов и цветом глаз их сыновей? Уровень доверия принять равным 0,99. Таблица 2.1 ДетиОтцыСуммаСветлоглазыеТемноглазыеСветлоглазые78279861Темноглазые8950139Сумма8711291000 H: нет зависимости между цветом глаз детей и отцов. H: есть зависимость между цветом глаз детей и отцов. s=k=2 =90,6052 с 1 ступеней свободы Вычисление сделаны в программе Mathematica 6. Поскольку > , то гипотезу H, про отсутствия зависимости между цветом глаз отцов и детей, при уровне значимости, следует отклонить и принять альтернативную гипотезу H. Утверждается, что результат действия лекарства зависит от способа применения. Проверьте это утверждение по данным, представленным в табл. 2.2 Уровень доверия принять равным 0,95. Таблица 2.2 РезультатСпособ примененияАВСНеблагоприятный111716Благоприятный202319 Решение.
Для решения данной задачи воспользуемся таблицей сопряженности двух признаков. Таблица 2.3 РезультатСпособ примененияСуммаАВСНеблагоприятный11171644Благоприятный20231962Сумма314035106 H: результат действия лекарств не зависит от способа применения H: результат действия лекарств зависит от способа применения Статистика вычисляется за следующей формулой s=2, k=3, =0,734626 c 2 ступенями свободы. Вычисление сделаны в программе Mathematica 6 По таблицам распределения находим, что. Поскольку < , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять. Заключение В данной работе приведены теоретические выкладки из раздела «Критерий независимости », а также «Предельные теоремы теории вероятностей», курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». В ходе выполнения работы на практике были проверены критерий независимости; также для заданных последовательностей независимых случайных величин было проверено выполнение центральной предельной теоремы. Данная работа помогла усовершенствовать мои знания с данных разделов теории вероятностей, работы с литературными источниками, твердо владеть техникой проверки критерия независимости. вероятностная статистическая гипотеза теорема Перечень ссылок 1. Сборник задач с теории вероятности с решением. Уч. пособие / Под ред. В.В. Семенца. - Харьков: ХТУРЕ, 2000. - 320с. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. - К.: Вища шк., 1979. - 408 с. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов. - М.: Высш. шк., 1984. - 248с., . Математическая статистика: Учеб. для вузов/ В.Б. Горяинов, И.В. Павлов, Г.М. Цветкова и др.; Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 424с. Нужна помощь по изучению какой-либы темы?
Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.Репетиторство
Отправь заявку
с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.
